一、数形结合思想

数学是研究数量关系和空间形式的一门科学。华罗庚先生曾说：“数形结合百般好，隔裂分家万事休。”由此可见，数学本身的特点就决定了我们在思考数学问题时要将数与形统一思考，要将数量关系转换为图形性质来解决，通过直观的图形来阐明数量间的内在关系。下面通过具体实例进行分析。

【例1】方程lgx+x-3=0 的解所在区间为（ ）

A.（1，2） B.（3，+∞) C.（2，3） D.（0，1）

解析：作出函数y=-x+3 和y=lgx的图像，记两图像交点横坐标为x0，由图可得x0∈（1，3），可排除B，D。进一步比较x0和2的大小关系，当x=2 时，lgx=lg2，3-x=1。显然，lg2 ＜1，所以x0＞2，因此得到x0∈（2，3），故本题应选C。

小结：本题利用数形结合思想构造函数，求方程解所在的范围，不仅要将数与形紧密结合，利用图像直观估计，还要计算x0附近的函数值来进一步缩小解所在的范围。

【例2】已知x1是方程x＋10x=3 的根，x2是方程x+1gx=3 的根，那么x1+x2的值为_。

解析：根据图像，可得直线y=3-x以及函数y=lgx与y=10x的图像均关于直线y=x对称，由对称性易知答案为3。

二、分类讨论的思想

三、函数与方程思想

小结：本题中由于已知条件的底数均为2 的幂指数式，因此可以利用换底公式统一为底数为2 的形式，使问题得到解决。

练习：已知a、b、c为△ABC的三边，且关于x的方程x2-2x+lg（c2-b2）-lga2+1=0 有等根，试判断△ABC的形状。（答案：直角三角形）

四、转化与化归思想

老子在《道德经》中曾讲道：少则多，多则惑。所以我们教师在引导学生学习时，不应一味做题只追求数量，采用题海战术，而应当及时总结提炼题中所蕴含的思想方法，这样才能够起到提纲挈领、举一反三的功效，从而提高学习效率，将教师、学生从繁重的课业中解放出来。